Определение слова
Удосу́житься — это найти, выкроить время, чтобы сделать какое-либо дело. Скорее всего, под "делом" здесь понимается что-то, что не очень хочется делать: какая-то необходимость, обязательство или чья-то просьба.
Слово является разговорным и обычно употребляется в виде замечания или укора, чаще с отрицательной частицей "не".
Давайте знакомиться! Меня зовут Павел, я составляю этот Словарь, а ещё пишу рассказы.
Пользуясь случаем, приглашаю вас почитать мой рассказ "Мечта".
Это история о двух подружках, объединённых общим интересом, и о трудностях на пути к своей мечте.

Примеры употребления
Для лучшего понимания приведём предложения, в которых встречается изучаемое слово:
- Товарищи студенты, извольте удосужиться написать курсовую работу до начала майских праздников: это крайний срок, о котором было сказано ещё в начале марта.
- Мы вчера минут сорок ждали начальника на планёрке, а он, оказывается, уехал в головной офис и даже не удосужился нас предупредить, это просто безобразие!
- Я отправил черновик своего рассказа в редакцию ещё месяц назад, а сегодня узнал, что редактор даже не удосужился прочитать его, хотя обещал опубликовать.
В дополнение
Слово "удосужиться" происходит от слова "досуг", которое имеет значение "время, свободное от основного занятия". Обратите внимание на правильное ударение и запомните его: досу́г.
На этом сайте есть и другие интересные статьи! Например, можно почитать, что такое либерализм.